第17章 数学考试技巧（1 / 2）

一场数学考试过后，蔚晓蓝找到武旭，希望他能传授给自己些考场上的技巧。

蔚晓蓝对武旭说：“武旭啊，数学在考场上有什么技巧吗？”

武旭说：“想必我们都知道中高考数学试卷的分值分布，因为我们最终的目的是取得一个满意的分数，有所侧重会使你的考试分数提高，而且是在毫不费力的情况下，只是在做题前有所侧重就好。先来看选择题，一般一共12道题，每题5分，共计60分。选择题可以说是最灵活的题型，如果你想考到130分左右，选择题最多只能错一个，而且必须在40分钟内做完。”

蔚晓蓝接话说：“那么，怎么做选择题呢？”

武旭说：“按照传统的观念，必须按照规则从头到尾写清楚计算过程，然后得出答案，但是我问了很多学霸，几乎没有每道题都计算的，学霸们更倾向于从四个选项中‘挑选’正确答案，选择题从不展开运算，也就是说，小题不大做，他们一般不会采用常规方法达到目的，他们只要达到得分的目的即可。”

第一种方法:特殊值法。用特殊值，或特殊图形、特殊位置代替题设的普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而得出正确选择。一般情况下，特殊数值用0、1，特殊数列使用常数列，特殊函数使用对勾函数f(x)=ax+bx(ab＞0)(对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，渐近线是x=y)。

特殊图形:正三角形、正方形特殊角:180°、90°、60°。特殊对称:中心对称、轴对称等。

第二种方法:排除法。数学选择题的解题本质不是通过计算得结论，而是去伪存真，就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论。排除法就是通过观察分析或推理运算各备选项提供的信息，对于错误的选项逐一剔除，从而获得正确结论。

第三种方法:直觉法。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具创造力的成分，其实数学的真正本质就是逻辑，因此，作为选拔人才的命题人很自然要考虑对直觉思维的考查。

第四种方法:测量法。中、高考的试卷制图是十分标准的，因此考试时带一把标准的量角器和尺子，大胆去测量数值，然后进行预估，也会助你一臂之力。

第五种方法:始终用向量法做立体几何。对于基础差的学生，放弃辅助线的方法吧，精炼你的向量法，把时间全部用在向量法上会省去你思考的时间，从而节省时间去做其他题。无论如何，你只要得分就可以了，向量法把问题简单化，省去思考环节，直达中心。

第六种方法:根号估算法，考试前考生一定要牢记，根号2=1.414，根号3=1.732，根号5=2.236，然后不会做的选择题可以直接将数代入后估算从而得出相近的答案。

数学考试是很容易拉开分数的一门考试，考试前要告诉自己，没必要所有的题都做出最精准的答案，只做到大概准确即可，大约70%~80%。这样既可以节省时间，又可以给大脑减压。下面列举几道用上述方法得出答案的例题:

1.特殊值法

第一题(2018年高考全国Ⅰ卷选择题第二题):知集合A={x|x²-x-2＞0}，则RA=。

A.{x|-1＜x＜2}

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x＜-1}∪{x|x＞2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

这道题很简单，但是我在这里抛砖引玉，让大家对这种运用特殊值的解题模式有一个整体上的认识。首先，答案肯定是有等于号的，因为题目集合没有等于号，所以其假子集有等于号，排除A、C，剩B、D，在B、D之中代入0，0是符合题目要求的，所以选择答案B。

第二题:已知等差数列{αn}的前n项和为Sn，等差数列{αn}的前n项和为Sn，若a2n/an=4n-1/2n-1，则S2n/Sn值为。A.2B.3C.4D.8

解：用特殊值法解题，取n=1，得a2/a1=3，所以（a1+a2)/a1=4于是，当n=1时，s2n/Sn=s2/s1=（a1+a2）/a1=4，因此选C。

第三题:(2018年高考全国Ⅰ卷填空题第一题):若x，y满足约束条件x-2y-2≤0、x-y+1≥0、y≤0，则z=3x+2y的最大值为？

解:常规方法基本上就是作图找可行区域，然后结合目标函数z=3x+2y寻找最大值。其实换一种思考角度，目标函数的最大值肯定在范围内的三个交点上，也就是说，寻找到三个交点，代入目标函数找最大值就可以了，方程两两联立求交点:①x≤0①x-2y-2≤0②y≤0②x-y+1≥0③x-2y-2≤0③x-y+1≥0，两两联立得交点，解①得到x=2，y=0，解②得到x=1，y=0，解③得到x=-4，y=-3。显然，代入x=2，y=0到目标函数z=3x+2y，可以得到最大值，代入计算得到答案是6。牢记，小题不大做，节约小题时间去做其他题。

得到答案是6。牢记，小题不大做，节约小题时间去做其他题。

2018年高考全国Ⅱ卷也有同样的题，大家可以自己使用这种方式去解题。x+2y-5≥0、x-2y+3≥0、x-5≤0，则目标函数z=x+y的最大值为多少？

以上四道题只是具有一定的代表性，本书将不再过多介绍，希望考生在平时多做总结和积累，去体会这种快速得结果的思路或模式。

2.排除法:

第一题:方程ax²+2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是。

A.0＜a≤1B.a＜1C.a≤1D.0＜a≤1或a＜0

传统方法△≥0，得到4-4a≥0因此a≤1。这道题很简单，可以直接算。我们再体验一下学霸用排除法做题:题目要求至少有一个负根，因此选项里面肯定有等于号，排除B，在A、C、D中选择，a=0得到方程ax²+2x+1=0是一条直线，x=-1/2，满足条件，有一个根，排除A、D，因此选择C，用这种方法基本上可以不用动笔直接得出答案。

第二题:已知函数f(x)=mx²+(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少一个在原点右侧，则实数m的取值范围是。

A.(0，1)B.(0，1]C.(-无穷，1)D.(-无穷，1]

常规法不再介绍，我们用省时间的特殊值法:根据备选项我们将特殊值m=1代入函数，则f(x)=x²-2x+1，化简得(x-1)²=0时，x=1符合条件，排除A、C，然后根据选项B、D的差异，将m=0代入函数f(x)，则f(x)=-3x+1，X=1/3时符合，排除B，选D。

3.估算法

不必进行准确计算，只需对其数值特点和取值界限做出正确的判断。

第一题:若不等式组①x≤0、②y≥0、③y-x≤2表示平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积是。

A.3/4B.1C.7/4D.2

可以画图，然后从图可知，扫过的面积比1大，比2小，符合条件的只有选C。

第二题:在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，且EF平行AB，EF=1.5，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为。

A.2/9B.5C.6D.15/2

连接BE与CE，如图所示，则原多面体的体积为:四棱锥E-ABCD的体积和三棱锥EBCF的体积之和。而E-ABCD=1/3×9×2=6，由局部的体积小于整体的体积可知:原多面体的体积大于6，从备选答案上来看，只有选择D。

在选择题的四个备选项中，若有三个备选项都含有同一个元素，而另一个备选项不含有这种元素，则称之为“三无一有元”。对有些极易发现“三无一有元”的选择题，可以单独验证这个元素，或通过估算来推断其真伪，从而排除干扰项，确定正确的选项。

第三题:设f(x)=lg2+x/(2-x)，则f(x/2)+f(2/x)的定义域为。

A.(-4，0)∪(1，2)B.(-4，-1)∪(1，4)

C.(-2，-1)∪(1，2)D.(-4，-2)∪(2，4)

显然x=2是“三无一有元”，且此时代入函数f(x)的x/2与2/x都能使f(x)有意义，从而可选得B。

第四题:已知过球面上A、B、C三点的截面到球心的距离等于球第四题:已知过球面上A、B、C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是。A.16/9πB.8/3πC.4πD.64/9π

解:因为S球=4πR²，结合备选项，发现只需要估算球的半径R即可；设球半径R，△ABC的外接圆半径为r=(2倍的根号3)除以3，易知:R＞r，从而S球=4πR²≥4πr²≥16π/3＞5π显然只有D才有这个可能，故应选D。

采用估算法分析恰到好处，若是先求球的半径R，再求其表面积，则必是小题大做。

4.直觉法

第一题:用长度分别为2、3、4、5、6的5根细木棍围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到三角形的最大面积是。

A.8×根号5B.6×根号10C.3×根号5D.20