一百零二 古典微分几何空战103（1 / 2）

“古典微分几何？是黎曼几何之前的微分几何内容吗？”

太明珠问道。

黎曼几何是古典微分几何和现代微分几何的分界线，前沿的机器人研究会用到现代微分几何知识，太明珠自然对此有所了解。

叶蒙说道，“看来你已经知道古典微分几何内容了？那这部分内容就直接跳过了。”

“没有，我只知道一些现代微分几何知识，对古典微分几何没有了解。”太明珠摇摇头。

现代微分几何和古典微分几何完全是两个学科，学习现代微分几何不需要以学习前者为基础，所以太明珠这么说也不奇怪。

“这样啊，没事，古典微分几何就是些曲线曲面论，而这里的空战理论只会用到曲线理论，只要有点儿微积分和线代基础就能学，我给你讲讲，凭你的学习能力应该很快就懂了。”

“嗯嗯。”

“这里先解释下为什么空战技术会用到微分几何曲线理论，因为战机在空中的飞行轨迹就是直线或曲线，主要是曲线，只要我们能计算出任意策略下的轨迹曲线坐标函数，那也就能预测战机的飞行轨迹，从而知道其中最优的飞行轨迹，然后就能反过来得到最优飞行策略了。”

“诶？这不是很正常的思路么？难道能量空战论不是这么研究的？”太明珠疑惑道。

“不是，”叶蒙摇摇头，“我也比较奇怪，能量空战论中给了各种战机性能图表和公式，还用空气动力学计算推导了一大堆东西，但就是不从微分几何角度来研究一下。有可能是因为传输函数也能做轨迹预测，所以专业人员就没想着用古典微分几何来研究。”

“那这样也就不奇怪了。你提的用远程机器人、飞艇、机甲这些东西的应用思路不也挺简单的么？但之前就是没人注意到。既然现在古典微分几何理论是你提出的，那这种理论应用路线被人漏掉也正常。”

“有可能，这里也不管这些了，反正用古典微分几何描述空战可以得到一些很有用的理论技术，内容也简单。”叶蒙说道。

“ok，你继续。”

“既然要计算战机轨迹曲线，那我们就先分析下曲线的基本性质，古典微分几何的曲线理论就从这里开始讲解。”

曲线有无限多种，但都可以分为两类。曲线上的点都位于同一平面内的曲线是弯曲曲线，这些点位于不同平面内的曲线是扭曲曲线。

三维空间中绝大部分曲线其实都是扭曲曲线。事实上，弯曲曲线也可以算作扭曲曲线，只不过是一种特殊扭曲曲线。

“这点后面会讲到，而曲线理论其实就是研究扭曲曲线的理论。扭曲最核心的两个性质是曲率和挠率。曲率就是曲线上走过单位长度所改变的角度，它表示的是曲线在指定点处的弯曲程度。这是高中知识对吧，不多讲。而挠率表示的是曲线的扭曲程度，那么它到底是怎么表示的呢？”

叶蒙在笔记本上画了条简单扭曲曲线，然后在曲线上一点处画了几条直线和几个平面，看起来像是构成了一个笛卡尔坐标系。然后叶蒙讲解道，

“这个沿切线方向的箭头是切向量，从这点指向曲率圆心的是箭头是法向量，也叫主法向量，然后用右手法则，大拇指指向的这个箭头叫做副法向量。

另外这三个平面也解释下，垂直于曲线的这个面叫做法平面，切向量和主法向量构成的这个平面叫做密切平面，切向量和副法向量构成的这个平面叫做从切平面。这三个向量和平面构成的系统叫做伏雷内标架。

主法向量在这里经过单位长度所转动的角度就是刚才说的曲率，而副法向量在这里经过单位长度转动的角度就是所谓的挠率。”

“哦呦！原来挠率是这么定义的啊，以前还真没想过怎样表示曲线扭曲程度。”太明珠惊奇道。

这也正常，其实日常生活中有很多事物或现象涉及的数学或物理原理都很简单，只不过人们往往不去细想。

“没错，”叶蒙点点头，“挺简明的对吧？这里我们用这三个向量描述下这种空间曲线的曲率和挠率的表达式。”

不过叶蒙刚动笔，就说道，“算啦，网上有现成的，就不先推导了，等我搜一下。”

“不用了，我知道怎么表示了。”

太明珠接过笔，不写任何推导过程，就啦啦啦写下曲率和挠率的表达式。

“我去！秒推？”叶蒙被惊到了。

“也不是啦，别忘了我可以同时思考多件事，你在画图时我就在想曲率表达式了，然后挠率表达式和曲率表达式推导过程有重复的地方，所以在刚才咱俩说话时就推出来了。”

“哎呀！你这能力太让人羡慕了，可惜学不来。”叶蒙揉揉太明珠的头，一脸佩服道。

“嘻嘻，小case啦，快点儿，你接着讲吧。”

“ok。如果一条曲线的曲率和挠率恒定，那这条曲线会怎么变化呢？”

太明珠很快答道，

“螺旋前进那种线，像dna，只不过只是其中一条。”

“还有其他例子呢？”

“很多例子吧，比如螺丝的螺纹、立交桥的上升下降弯道、螺旋楼梯、空战中的——”说到这里，太明珠突然眼睛一亮，“哦！滚筒曲线！你要说的就是这个？”

“没错，咱们游戏中对头或者规避敌人进攻就经常用到这种机动轨迹，这种轨迹或者这种曲线，在微分几何上叫做圆柱螺线，简称柱螺线。当然机动轨迹千变万化，也不止这一种，不过没关系，我们这里先将柱螺线坐标函数写出来。明珠小天才，这个表达式你想好了吗？”